SEIR 模型简介

背景

2019 年年末，中国武汉出现了由某种新型冠状病毒感染的肺炎疫情，其严重程度与 2003 年 SARS 疫情比起有过之而无不及。在国家全力做好疫情防控工作的同时，世界各地研究者纷纷对此次疫情进行评估和预测，短时间内诞生了不少此次疫情的相关文献。

SEIR 模型是诸多传染病模型中非常经典的一个微分方程模型，此时也被许多研究者采用。

参考文献：JL Aron, IB Schwartz. Seasonality and Period-doubling Bifurcation in an Epidemic Model - Journal of theoretical biology, 1984

模型概要

一个地区的人可以被划分为以下四类人群：Susceptibles（易感者），Exposed（潜伏者），Infectives（传染者），Recovered（康复者）

易感者即可能患该流行病的人；潜伏者是已经携带流行病的病原体但仍未达到传染水平的人；传染者是携带病原体并且可以传播给其他人的人；康复者是经过治疗从该传染病中康复的人；

模型假设

1. 设 $S,E,I,R$ 是四类对应人群人数占比，则有 $$S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1$$

2. 假设该地区人数不变，即出生速率和死亡速率都是 $\mu$

3. 潜伏者在一段时间后转变为传染者的概率不随时间变化

4. 一名潜伏者经过时间 $\tau$ 仍为潜伏者的概率是 $e^{-\alpha \tau }$，$1/\alpha$ 是平均潜伏期

5. 传染者经过时间 $\tau$ 后才康复的概率是 $e^{-\gamma \tau }$，$1/\gamma$ 是康复需要的平均时间

6. 康复者永久免疫该传染病

符号约定

该地区的出生速率和死亡速率 $\mu$：单位时间内出生的人数和死亡人数

接触速率 $\beta (t)$：一名传染者在单位时间内接触到易感人群的平均人数

平均潜伏期 $1/\alpha$：一名潜伏者平均需要经过 $1/\alpha$ 转变为传染者

平均康复时间 $1/\gamma$：一名传染者平均需要经过 $1/\gamma$ 康复

模型建立

设该地区总人数是 $N$

易感人群的改变量由出生人数，转化为潜伏人群的人数，死亡人数三部分组成： $$NS(t+\mathrm{\Delta }t)-NS(t)=N\mu \mathrm{\Delta }t-N\beta (t)S(t)I(t)\mathrm{\Delta }t-N\mu S(t)\mathrm{\Delta }t$$ 在可微的条件下可以改写成常微分方程： $$S^{\prime }(t)=\mu -\beta (t)S(t)I(t)-\mu S(t)$$ 潜伏人群的改变量由易感人群转化，转化为传染人群，死亡人数三部分组成： $$NE(t+\mathrm{\Delta }t)-NE(t)=N\beta (t)S(t)I(t)\mathrm{\Delta }t-NE(t)\frac{\mathrm{\Delta }t}{1/\alpha }$$ 改写为 ODE： $$E^{\prime }(t)=\beta (t)S(t)I(t)-(\mu +\alpha )E(t)$$ 传染人群的改变量由潜伏人群转化，死亡人数，康复人数三部分组成： $$NI(t+\mathrm{\Delta }t)-NI(t)=NE(t)\frac{\mathrm{\Delta }t}{1/\alpha }-N\mu I(t)-NI(t)\frac{\mathrm{\Delta }t}{1/\gamma }$$ 改写为 ODE： $$I^{\prime }(t)=\alpha E(t)-(\mu +\gamma )I(t)$$

最后康复人群的改变量由传染者康复，死亡人数组成： $$NR(t+\mathrm{\Delta }t)-NR(t)=N\frac{\mathrm{\Delta }t}{1/\gamma }I(t)-\mu R(t)$$ 改写为 ODE： $$R^{\prime }(t)=\gamma I(t)-\mu R(t)$$ 这样就得到了描述该地区各类人群数量变化的微分方程组，这就是 SEIR 模型： $$\{\begin{array}{}{S}^{\prime }(t)=\mu -\beta (t)S(t)I(t)-\mu S(t)\\ E^{\prime }(t)=\beta (t)S(t)I(t)-(\mu +\alpha )E(t)\\ I^{\prime }(t)=\alpha E(t)-(\mu +\gamma )I(t)\\ R^{\prime }(t)=\gamma I(t)-\mu R(t)\end{array}$$ 检查一下的确满足 $S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1$

假设 4 和 5 的解释

假设平均潜伏期是 $1/\alpha$，潜伏者转化为传染者的数量是随机变量 $X$，根据泊松过程，则有 $$P(X=k,t)=\frac{(\alpha t{)}^k}{k!}{e}^{-\alpha t}$$ 设连续两名潜伏者转化为传染者的时间差是随机变量 $Y$，容易知道 $$P(Y>t)=P(X=0,t)=e^{-\alpha t}$$ 而这个概率 $P(Y>t)$ 又可以解释为一名潜伏者经过时间 $t$ 仍为潜伏者的概率。