SEIR 模型简介

背景

2019 年年末,中国武汉出现了由某种新型冠状病毒感染的肺炎疫情,其严重程度与 2003 年 SARS 疫情比起有过之而无不及。在国家全力做好疫情防控工作的同时,世界各地研究者纷纷对此次疫情进行评估和预测,短时间内诞生了不少此次疫情的相关文献。

SEIR 模型是诸多传染病模型中非常经典的一个微分方程模型,此时也被许多研究者采用。

参考文献:JL Aron, IB Schwartz. Seasonality and Period-doubling Bifurcation in an Epidemic Model - Journal of theoretical biology, 1984

模型概要

一个地区的人可以被划分为以下四类人群:Susceptibles(易感者),Exposed(潜伏者),Infectives(传染者),Recovered(康复者)

易感者即可能患该流行病的人;潜伏者是已经携带流行病的病原体但仍未达到传染水平的人;传染者是携带病原体并且可以传播给其他人的人;康复者是经过治疗从该传染病中康复的人;

模型假设

  1. S,E,I,R 是四类对应人群人数占比,则有 S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1

  2. 假设该地区人数不变,即出生速率和死亡速率都是 μ

  3. 潜伏者在一段时间后转变为传染者的概率不随时间变化

  4. 一名潜伏者经过时间 τ 仍为潜伏者的概率是 eατ1/α 是平均潜伏期

  5. 传染者经过时间 τ 后才康复的概率是 eγτ1/γ 是康复需要的平均时间

  6. 康复者永久免疫该传染病

符号约定

该地区的出生速率和死亡速率 μ:单位时间内出生的人数和死亡人数

接触速率 β(t):一名传染者在单位时间内接触到易感人群的平均人数

平均潜伏期 1/α:一名潜伏者平均需要经过 1/α 转变为传染者

平均康复时间 1/γ:一名传染者平均需要经过 1/γ 康复

模型建立

设该地区总人数是 N

易感人群的改变量由出生人数,转化为潜伏人群的人数,死亡人数三部分组成: NS(t+Δt)NS(t)=NμΔtNβ(t)S(t)I(t)ΔtNμS(t)Δt 在可微的条件下可以改写成常微分方程: S(t)=μβ(t)S(t)I(t)μS(t) 潜伏人群的改变量由易感人群转化,转化为传染人群,死亡人数三部分组成: NE(t+Δt)NE(t)=Nβ(t)S(t)I(t)ΔtNE(t)Δt1/α 改写为 ODE: E(t)=β(t)S(t)I(t)(μ+α)E(t) 传染人群的改变量由潜伏人群转化,死亡人数,康复人数三部分组成: NI(t+Δt)NI(t)=NE(t)Δt1/αNμI(t)NI(t)Δt1/γ 改写为 ODE: I(t)=αE(t)(μ+γ)I(t)

最后康复人群的改变量由传染者康复,死亡人数组成: NR(t+Δt)NR(t)=NΔt1/γI(t)μR(t) 改写为 ODE: R(t)=γI(t)μR(t) 这样就得到了描述该地区各类人群数量变化的微分方程组,这就是 SEIR 模型: {S(t)=μβ(t)S(t)I(t)μS(t)E(t)=β(t)S(t)I(t)(μ+α)E(t)I(t)=αE(t)(μ+γ)I(t)R(t)=γI(t)μR(t) 检查一下的确满足 S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1

假设 4 和 5 的解释

假设平均潜伏期是 1/α,潜伏者转化为传染者的数量是随机变量 X,根据泊松过程,则有 P(X=k,t)=(αt)kk!eαt 设连续两名潜伏者转化为传染者的时间差是随机变量 Y,容易知道 P(Y>t)=P(X=0,t)=eαt 而这个概率 P(Y>t) 又可以解释为一名潜伏者经过时间 t 仍为潜伏者的概率。