SEIR模型简介

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背景

2019年年末，中国武汉出现了由某种新型冠状病毒感染的肺炎疫情，其严重程度与2003年SARS疫情比起有过之而无不及。在国家全力做好疫情防控工作的同时，世界各地研究者纷纷对此次疫情进行评估和预测，短时间内诞生了不少此次疫情的相关文献。

SEIR模型是诸多传染病模型中非常经典的一个微分方程模型，此时也被许多研究者采用。

参考文献：JL Aron, IB Schwartz. Seasonality and Period-doubling Bifurcation in an Epidemic Model - Journal of theoretical biology, 1984

模型概要

一个地区的人可以被划分为以下四类人群：Susceptibles（易感者），Exposed（潜伏者），Infectives（传染者），Recovered（康复者）

易感者即可能患该流行病的人；潜伏者是已经携带流行病的病原体但仍未达到传染水平的人；传染者是携带病原体并且可以传播给其他人的人；康复者是经过治疗从该传染病中康复的人；

模型假设

  1. 设\(S,E,I,R\)是四类对应人群人数占比，则有 \[ S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1 \]

  2. 假设该地区人数不变，即出生速率和死亡速率都是\(\mu\)

  3. 潜伏者在一段时间后转变为传染者的概率不随时间变化

  4. 一名潜伏者经过时间\(\tau\)仍为潜伏者的概率是\(e^{-\alpha\tau}\)，\(1/\alpha\)是平均潜伏期

  5. 传染者经过时间\(\tau\)后才康复的概率是\(e^{-\gamma \tau}\)，\(1/\gamma\)是康复需要的平均时间

  6. 康复者永久免疫该传染病

符号约定

该地区的出生速率和死亡速率\(\mu\)：单位时间内出生的人数和死亡人数

接触速率\(\beta(t)\)：一名传染者在单位时间内接触到易感人群的平均人数

平均潜伏期\(1/\alpha\)：一名潜伏者平均需要经过 \(1/\alpha\)转变为传染者

平均康复时间\(1/\gamma\)：一名传染者平均需要经过\(1/\gamma\)康复

模型建立

设该地区总人数是\(N\)

易感人群的改变量由出生人数，转化为潜伏人群的人数，死亡人数三部分组成： \[ NS(t+\Delta t) - NS(t) = N\mu\Delta t - N\beta(t)S(t)I(t)\Delta t - N\mu S(t)\Delta t \] 在可微的条件下可以改写成常微分方程： \[ S'(t) = \mu - \beta(t)S(t)I(t) - \mu S(t) \] 潜伏人群的改变量由易感人群转化，转化为传染人群，死亡人数三部分组成： \[ NE(t+\Delta t) - NE(t) = N\beta(t)S(t)I(t)\Delta t - NE(t)\frac{\Delta t}{1/\alpha} \] 改写为ODE： \[ E'(t) = \beta(t)S(t)I(t) - (\mu + \alpha)E(t) \] 传染人群的改变量由潜伏人群转化，死亡人数，康复人数三部分组成： \[ NI(t+\Delta t) - NI(t) = NE(t)\frac{\Delta t}{1/\alpha} - N\mu I(t) - NI(t)\frac{\Delta t}{1/\gamma} \] 改写为ODE： \[ I'(t) = \alpha E(t) - (\mu + \gamma)I(t) \]

最后康复人群的改变量由传染者康复，死亡人数组成： \[ NR(t+\Delta t) - NR(t) = N\frac{\Delta t}{1/\gamma}I(t) - \mu R(t) \] 改写为ODE： \[ R'(t) = \gamma I(t) - \mu R(t) \] 这样就得到了描述该地区各类人群数量变化的微分方程组，这就是SEIR模型： \[ \left\{ \begin{array}\\ S'(t) = \mu - \beta(t)S(t)I(t) - \mu S(t) \\ E'(t) = \beta(t)S(t)I(t) - (\mu + \alpha)E(t) \\ I'(t) = \alpha E(t) - (\mu + \gamma)I(t) \\ R'(t) = \gamma I(t) - \mu R(t) \end{array} \right. \] 检查一下的确满足\(S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=1\)

假设4和5的解释

假设平均潜伏期是\(1/\alpha\)，潜伏者转化为传染者的数量是随机变量\(X\)，根据泊松过程，则有 \[ P(X=k,t)=\frac{(\alpha t)^k}{k!}e^{-\alpha t} \] 设连续两名潜伏者转化为传染者的时间差是随机变量\(Y\)，容易知道 \[ P(Y>t)=P(X=0,t)=e^{-\alpha t} \] 而这个概率\(P(Y>t)\)又可以解释为一名潜伏者经过时间\(t\)仍为潜伏者的概率。